English version
Mathe - Feind und Schrecken (fast) aller Schüler ? Doch in der Bibel steht geschrieben: "Du sollst auch deine Feinde lieben !" - oder mit einer schönen Parabel (eine Art Gleichnis) ausgedrückt:
"Vor vielen Jahren hatte ein alter chinesischer Kaiser vor, das Land seiner Feinde zu erobern und sie alle zu vernichten.
Später sah man ihn mit seinen Feinden speisen und scherzen.
"Wolltest du nicht deine Feinde vernichten?, fragte man ihn verwundert. Der Kaiser antwortete: "Ich habe sie vernichtet. Ich machte sie zu meinen Freunden."
(eine Parabel ist nebenbei auch eine mathematische, genauer geometrische Angelegenheit: eine Kurve, die nach einer Kehrtwendung wieder in die Richtung läuft, aus der sie gekommen ist, also eine Art "U", das an der offenen Seite immer größer wird; Formel der Normparabel: y = x²)
1. Der Fußball
Was ist von dieser Standardgeschichte vieler Mathelehrer zu halten: 3 Jungen kaufen sich einen Fußball. Laut Preisschild im Fenster kostet er 30 €. Sie legen zusammen, d. h. jeder legt 10 € auf die Theke. Hinterher merkt der Ladenbesitzer, dass der Ball nur 25 € kostete und beauftragt seinen Azubi , der die Jungen kennt, ihnen die zu viel gezahlten 5 € zurückzugeben. Da der Azubi das mathematische Problem hat, 5 durch 3 zu teilen, gibt er jedem Jungen 1 € zurück, so dass die Jungen nur 27 € gezahlt haben (jeder 9 €) und behält 2 € für sich. Die triumphierende Frage des Mathelehrers: Wo ist die fehlende 1 € ? Frei nach dem Motto: Da staunt der Fachmann , der Laie wundert sich!
2. Das Seil
Ein weiteres Highlight eines jeden über das Mathebuch hinausblickenden Mathelehrers ist die Aufgabe: Wenn ein am Äquator (Umfang: ca. 40 076 km) um den Erdball gespanntes Seil 1 km zu lang wäre, wie weit würde es auf seiner ganzen Länge von der Erde abstehen? (Man muss eigentlich nur die Kreisumfangsformel kennen.)
3. Die Summe
Vom großen Mathematiker Carl Friedrich Gauß wird folgende Anekdote erzählt: Sein Lehrer musste dringend die Klasse für ein paar Minuten verlassen. Er gab seinen Schülern deshalb eine Rechenaufgabe auf, damit sie für eine Weile beschäftigt wären: Sie sollten alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzählen. Der Lehrer wollte gerade den Klassenraum verlassen, als der junge Gauß ihm die Lösung in seinem Heft präsentierte: 5050. Der Lehrer war verblüfft. Da er die Aufgabe schon in anderen Klassen hatte rechnen lassen, wusste er, dass das Ergebnis stimmte. Wie hatte Carl es so schnell berechnet?
1. Lösung: Der Fußball
Die Aufgabenstellung enthält einen tückischen Denkfehler. Es ist nämlich in Wirklichkeit so: Die 3 Jungen haben (30 € minus 3 zurück =) 27 € bezahlt. Hätte die Verkäuferin ihnen die 2 € auch noch zurückgegeben (d. h. jedem 2/3 = 0,67 €), hätten sie (27 - 2 =) 25 € bezahlt, soviel wie der Ball auch kostete.
2. Lösung: Das Seil
Der Abstand des Seils von der Erde ist der Unterschied zwischen dem Radius (halber Durchmesser, "Halbmesser") des um die Erde verlegten, zu langen Seils (R) und dem Radius der Erde (r). Mit der Formel U = d mal π (Kreiszahl "pi") oder (wegen: d = 2 mal r) U = 2 mal r mal π (Umstellung: r = U : 2 π ) ergäbe sich mit einem guten Taschenrechner R - r = (USeil geteilt durch 2 π) minus (UErde geteilt durch 2 π) = (USeil minus UErde) : 2 π . doch man erkennt hier man ohne Ausrechnung, dass unabhängig von der Größe der Kugel oder der Länge des Seils immer gilt: Radiusabstand = Umfangsabstand geteilt durch 2 π (ca. 6,283). Das heißt bei einer Seilverlängerung um 1 km stünde das Seil überall entlang des Äquators 1000 m geteilt durch 6,283 = 159,16 m ab! (Kölner Dom !), bei einer Verlängerung um nur 1 Meter überall entlang des Äquators um 15,9 cm !
3. Lösung: Die Summe
Gauß dachte: die erste und die letzte Zahl (1 + 100) ergeben zusammen 101, die zweite und die vorletzte (2 + 99) ebenso, usw. Insgesamt gibt es 50 "Pärchen" (die Hälfte der 100 Zahlen), die alle 101 ergeben. Als Formel: Summe = (erste Zahl + letzte Zahl) mal (Anzahl der Zahlen)/2 oder : (a + b) mal n/2.
Beispiel 1: Summe der Zahlen von 1 bis 1000 : (1 + 1000) . 1000/2 = 1001 mal 500 = 500500.
Beispiel 2: Summe der Zahlen von 100 bis 200 : (100 + 200) . (200 - 99)/2 = 300 mal 101/2 (= 300 mal 50,5) = 15150.
4. Das Alter
Man bittet jemanden, festzustellen, in welchen Spalten der folgenden Tabelle sein Alter steht. Mit einem Blick auf die Tabelle (mit etwas Übung auch ohne) kann man sofort sagen, wie alt die Person ist. (Vorsicht: nur bis zum Alter von 63 Jahren!)
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Tabelle (download)
5. Die Schachpartie
Aus dem Morgenland wird berichtet, dass vor vielen Jahren in einem arabischen Land ein alter Weiser in Armut lebte, dem nachgesagt wurde, dass er im Schachspiel ungeschlagen sei. Das kam eines Tages dem Sultan zu Ohren, der sich selbst f�r den besten Schachspieler im Lande hielt. Er lud schlie�lich den Alten zu einer denkw�rdigen Partie Schach in seinen Palast ein. Um zu verhindern, dass der Alte aus Bescheidenheit und Demut den Sultan vielleicht gewinnen lassen w�rde, bestimmte der Sultan folgende Bedingungen: Dem Alten w�rde im Falle einer Niederlage der Kopf abgeschlagen werden, im Falle eines Sieges h�tte er hingegen einen beliebigen Wunsch frei. Wie ging die Schachpartie aus? Der Alte gewann. Der Zorn des Sultans wurde dadurch etwas gemildert, dass der Wunsch des Alten scheinbar �u�erst bescheiden ausfiel: Er verlangte 1 Reiskorn auf dem 1. Schachbrettfeld, die doppelte Menge, also 2, auf dem 2. Feld, wiederum die doppelte Menge, 4 auf dem 3. Feld, 8 auf dem 4. Feld, 16 auf dem 5., usw. Konnte der Sultan den Wunsch des Alten wirklich erf�llen?
6. Der Turm zum Mond
Wenn man ein DIN-A4-Blatt (29,7 cm mal 21 cm) faltet oder in 2 Teile zerschneidet und die Teile aufeinander legt, ist der "Stapel" doppelt so hoch und hat jetzt das Format DIN A5. Wie oft m�sste man - theoretisch - 1 Bogen Papier (80g/m�) der Gr��e DIN A4 falten, bzw. zerschneiden und die Teile aufeinander legen, bis ein Stapel entsteht, der von der Erde bis zum Mond oder dar�ber hinaus reicht? Welches DIN-A-Format w�re das (theoretisch, denn offiziell ist DIN A10 das kleinste DIN-A-Format )?
4. L�sung: Das Alter
Erkl�rung: Wir schreiben Zahlen normalerweise im Dezimalsystem (Einer, Zehner, Hunderter, usw., das hei�t: ab 10 n�chste Stelle davor). Man kann Zahlen auch im �Bin�rcode� schreiben (ab 2: n�chste Stelle davor) (Computer arbeiten auf dieser Grundlage). Die 1. (kleinste) Bin�rzahl ist 1, die 2. ist 2, die 3. ist 4, die 4. ist 8, die 5. ist 16, die 6. ist 32, usw. (das sind �brigens die Zahlen der ersten Zeile der Tabelle). Man kann eine ganze Dezimalzahl in Bin�rschreibweise umwandeln, indem man sie in Bin�rzahlen (1, 2, 4, 8, 16, 32, usw.) zerlegt. Man f�ngt mit der gr��ten Bin�rzahl an, die in der Dezimalzahl enthalten ist. Man schreibt von links nach rechts. Alle Bin�rzahlenstellen werden ber�cksichtigt. F�r Bin�rzahlen, die in der Zahl enthalten sind, erh�lt der Code eine 1, f�r solche, die nicht enthalten sind, eine 0. (Ein Bin�rcode beginnt immer mit einer 1, d. h. Nullen f�r Bin�rzahlen, die gr��er sind als die Zahl, werden nicht geschrieben.)
Beispiel 1: die Zahl 25 (gr��te enthaltene Bin�rzahl: 16) = 1 mal 16 + 1 mal 8 + 0 mal 4 + 0 mal 2 + 1 mal 1 --> Bin�rcode: 11001
Beispiel 2: die Zahl 45 (gr��te enthaltene Bin�rzahl: 32) = 1 mal 32 + 0 mal 16 + 1 mal 8 + 1 mal 4 + 0 mal 2 + 1 mal 1 -Bin�rcode: 101101
In der Tabelle stehen nun - ungewohnterweise - die Dezimalzahlen von 1 bis 63 in jenen Spalten, in denen sie im Bin�rcode eine 1 h�tten !
L�sung: Wenn der Gefragte sagt, sein Alter oder seine Zahl komme in den Spalten 6, 4 und 1 vor, hei�t das: er meint die Zahl mit dem Bin�rcode 101001. Da in der ersten Zeile der Tabelle die Bin�rzahlen stehen, l�sst sich auch ohne Kenntnis der Bin�rschreibweise die gesuchte Zahl schnell durch Addition der Bin�rzahlen der genannten Spalten errechnen, zum Beispiel 101001 also: 32 + 8 + 1 = 41 !
5. Lösung: Die Schachpartie
Auf dem 1. Feld sollte 1 Reiskorn liegen, 2 auf dem 2. , 4 (= 2hoch2) auf dem 3., 8 (= 2hoch3) auf dem 4., usw. , 2hoch62 auf dem 63. und 2hoch63 Reiskörner auf dem 64. (2hoch63 = ca. 9 223 372 036 854 775 808 ! = über 9 Trillionen). Die Summe aller Reiskörner wäre 1 (= 2hoch0) + 2 (= 2hoch1) + 2hoch2 + 2hoch3 + 2hoch4 ..... + 2hoch63 = 2 x die Anzahl auf dem 64. Feld minus 1 !
--> 18 446 744 073 709 551 615
PS: Die Geschichte wird auch in anderen Varianten erzählt, z. B. dass ein indischer Maharadscha den Erfinder des Schachspiels belohnen wollte, das ihm so viel Vergnügen bereitete.
6. L�sung: Der Turm zum Mond
Ein Blatt mit 80g pro m� hat eine Dicke "(H�he") von ca. 0,106 mm (z.B. zu berechnen, indem man die H�he eines Stapels mit 500 misst und durch 500 teilt). Nach der 1. Teilung ist der Stapel (DIN A5) 0,212 mm hoch, nach der 2. Teilung (DIN A6) 0,424 mm, nach der 3. Teilung (DIN A7) 0,848 mm, nach der 4. Teilung (DIN A8) 1,696 mm, usw. Der Abstand zwischen Erde und Mond betr�gt ca. 384 000 km. Eine Berechnung ergibt, dass nach der 41. Teilung ("DIN A45"!) der Papierturm aus dem 1 DIN-A4-Blatt eine H�he von 233 095,9 km und nach der 42. Teilung ("DIN A46"!) eine H�he von 466 191,8 km erreicht h�tte, die Entfernung zwischen Erde und Mond also bereits um ca. 80 000 km �berschritten h�tte! Dieser "Turm" best�nde �brigens aus 4 398 046 511 000 Papierteilchen, die inzwischen nat�rlich viel h�her als breit w�ren (H�he, wie gesagt, 0,106 mm; Breite 0,0001 mm und 0,000141 mm, das L�ngenverh�ltnis beim DIN-A- Format ist immer 1:1,414!), n�mlich ca. 883 mal so hoch wie breit. �brigens: Die gigantische Summe von 4 398 046 511 000 Teilchen w�rde im Falle der Schachbrettreisk�rner lediglich der Menge Reisk�rner auf dem 42. Feld entsprechen !!!
7. Die Walze und die Schnecke
Eine Stra�enwalze f�hrt auf einer 6 m breiten Stra�e und legt dabei einen Viertelmeter in 24 Sekunden zur�ck. 50 Meter voraus beginnt eine Schnecke mit einer Geschwindigkeit von 8 cm pro Minute die Stra�e zu �berqueren. Frage: Kommt es zum Crash?
8. Die Vorfahren
Im Jahr 1 n. Chr. (es gab kein Jahr 0 !) bekamen Lydia und Alexander ein Kind. Für sie war es die 2. Generation. Unter der Voraussetzung, dass seine Vorfahren im Durchschnitt immer mit 20 Jahren das erste Kind bekamen (die folgende Generation), w�re der im Jahr 2001 geborene Nachfahre Lucas die 102. Generation (im Jahr 20 n. Chr.: 3., im Jahr 40 n. Chr.: 4., im Jahr 60 n. Chr.: 5. Generation, usw.). Lucas hat 1 Vater und 1 Mutter. Diese haben oder hatten auch jeweils 1 Vater und 1 Mutter (Lukas hat oder hatte 2 Gro�v�ter und 2 Gro�m�tter), usw. Frage: Wie viele Urururururur...v�ter und -m�tter (99 mal Ur- !) von Lucas lebten im Jahr 1 n. Chr. (einschlie�lich Lydia und Alexander)?
9. Die Folie
Aluminiumfolie ist in einer Dicke von 0,06 mm (60 Mikrometer = 60 Tausendstel Millimeter) herstellbar. Die haushalts�bliche Alufolie hat eine Breite von 29,7 cm (= die lange Seite des DIN A4- Formats !?). Wie viel Meter Folie lassen sich aus 1 kg Alu walzen (Dichte von Alu: 2,7 Gramm pro Kubikzentimeter)? Wie viel wiegt eine haushalts�bliche Rolle von 30 m (ohne Pappkern !)?
7. L�sung: Die Walze und die Schnecke
Eine klassische Dreisatzaufgabe in doppelter Form: Gesucht ist in beiden F�llen die ben�tigte Zeit. Walze: 25 cm in 24 s; 5000 cm in ?s Rechnung: 24 : 25 (= Zeit f�r 1 cm) � 5000 = 4800 s = (:60) 80 min = 1 h 20 min. Die Walze erreicht nach 1 Stunde und 20 Minuten den "Schnecken�bergang". F�r die Schnecke gilt: 8 cm in 1 min; 600 cm in ? min Rechnung: 1 : 8 (= Zeit f�r 1 cm) � 600 = 75 min = 1 h 15 min. Die Schnecke hat die Stra�e bereits nach 1 Stunde und 15 Minuten �berquert, also 5 Minuten bevor die Walze die Stelle passiert. Um festzustellen, wo die Walze sich befindet, wenn die Schnecke gerade in Sicherheit ist, muss gerechnet werden: Die Walze ben�tigt 24 s f�r 25 cm; 75 min = (mal 60) 4500 s f�r ?m Rechnung: 25 : 24 � 4500 = 4687,5 cm = 46,88 m (d. h. der Abstand zur Schneckenhinterteilspitze betrug noch sichere 50 - 46,88 = 3,12 m)
8. L�sung: Die Vorfahren
Im Jahr 1 n. Chr. lebten 2 hoch 101 Ururur ... -v�ter und -m�tter. Diese Zahl l�sst sich nicht einfach berechnen. Der mathematisch weniger Bewanderte kann die Potenz nach den Potenzregeln (2 hoch 20 = 2 hoch 10 mal 2 hoch 10) aufl�sen in: 2 hoch 101 = (2 hoch 10) � (2 hoch 10) � (2 hoch 10) � (2 hoch 10) � (2 hoch 10) � (2 hoch 10) � (2 hoch 10) � (2 hoch 10) � (2 hoch 10) � (2 hoch 10) � 2 (= 2 hoch 1). Die Zahl 2 hoch 10 = 1048 = 1,048 � 1000, wodurch der Ansatz nun lautet: 1,048 hoch 10 � 1000 hoch 10 � 2 (2 hoch 1). Der Wert von 1,048 hoch 10 l�sst sich mit dem Taschenrechner berechnen (= ca. 1,598132658, je nach Taschenrechnergenauigkeit). Das Ergebnis ist mit 1000 hoch 10 zu multiplizieren und zum Schluss mit 2 malzunehmen. Die Rechnung lautet: 1,598132658 � 1000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 mal 2 = 3 196 265 316 000 000 000 000 000 000 000 ! Tats�chlich lebten im Jahr 1 n. Chr. h�chstens ein paar Millionen Menschen auf der ganzen Welt! Die unglaublich gro�e Zahl ist nur so zu verstehen, dass selbst �ber den verh�ltnism��ig kleinen Zeitraum von 2 000 Jahren eigentlich fast jeder mit jedem verwandt ist!
9. L�sung: Die Folie
Ben�tigt wird die Volumenformel f�r einen Quader: Volumen = H�he mal Breite mal L�nge oder: V = a � b � c. Da die L�nge gesucht wird, muss die Formel umgestellt werden: L�nge c = V : a : b oder c = V : (a � b). Nun muss V berechnet werden mit der Formel: Masse = Volumen mal Dichte oder: m = V � ρ (rho), umgestellt nach V: V = m : ρ. Eingesetzt: V = 1 kg : 2,7 kg/dm� = 0,37 dm� = (1 dm = 100 mm, also sind 1 dm� = 100 mm � 100 mm � 100 mm = 1 000 000 mm�) 0,37 � 1 000 000 mm� = 370 000 mm�. Damit ist c = 370 000 mm� : (0,06 mm � 297 mm) = 370 000 mm� : 17,82 mm� = 20763 mm = 207,63 m.
10. Der Wein
Aus einem Wei�weinfass wird eine Kelle Wei�wein versehentlich in ein Rotweinfass mit gleicher Menge gegossen. Daraufhin wird eine Kelle aus dem Rotweinfass in das Wei�weinfass gegeben. Ist nun
a) im Wei�weinfass mehr Wei�wein als Rotwein im Rotweinfass
b) im Wei�weinfass weniger Wei�wein als Rotwein im Rotweinfass
c) im Wei�weinfass genau so viel Wei�wein wie Rotwein im Rotweinfass ?
11. Die Ronden
Aus einem Blech mit den Ma�en 1 m mal 1 m sollen Ronden (runde Teile) mit einem Durchmesser 10 cm ausgestanzt werden. Aus technischen Gr�nden m�ssen die Ronden unter- bzw. nebeneinander angeordnet sein (also nicht versetzt). Dadurch entsteht ein relativ hoher Verlust an Verschnitt. Die Ronden d�rfen sich ber�hren, auch gibt es keine Seitenr�nder. Wie gro� ist der Verschnitt pro Platte (in m�, dm� oder cm�)? Wie viel Prozent betr�gt der Verschnitt?
12. Die Kugel
Kugeln mit einem Durchmesser von 10 cm sollen verpackt werden. Leider ist das nur in w�rfelf�rmigen Schachteln m�glich. Wie viel cm� Luft befindet sich in jeder Schachtel? Wie viel Prozent des Schachtelvolumens ist das?
10. L�sung: Der Wein
Eine Beispielrechnung: Die Kelle fasst 1/20 des Fassinhalts von 60 Liter). Aus dem Wei�weinfass werden also 3 Liter Wei�wein entnommen und in das Rotweinfass gesch�ttet. Dann befinden sich im Rotweinfass 60 Liter Rot- und 3 Liter Wei�wein = 63 Liter Mischung im Verh�ltnis 60 : 3 = 20: 1. In 1 Kelle dieser Mischung (3 Liter) befinden sich (theoretisch, d. h. nach guter Durchmischung) 63/21 = 20/7 Liter Rot- und 3/21 =1/7 Liter Wei�wein (da 63 Liter = 21 Kellen). Zu den verbliebenen 57 Litern Wei�wein im Wei�weinfass kommen also 20/7 Liter Rotwein dazu und 1/7 Liter Wei�wein zur�ck (insgesamt 21/7 = 3 Liter) . Im Wei�weinfass sind also 57 1/7 Liter Wei�wein (+ 20/7 Liter Rotwein). Im Rotweinfass sind noch 60 Liter minus 20/7 Liter = 57 1/7 Liter Rotwein + 20/7 Liter Wei�wein von der ersten Kelle. Das hei�t, Antwort c) ist richtig!
graphische Demonstration mit einem anderen Mischungsverh�ltnis:
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1 Fass Wei�wein
30/30
1 Fass Rotwein
30/30
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24/30 W
30/30 (= 5/5) R
+ 6/30 (= 1/5) W
Mischung 30:6 = 5:1
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36/30 = 6/5
der Mischung 5:1
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� 5/30 R + 1/30 W = 6/30
der Mischung 5:1
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2
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4
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25
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30/30 und zwar
25/30 R + 5/30 W
30/30 und zwar
25/30 W + 5/30 R
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1
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2
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3
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Ein Versuch f�r Formelfreunde: mit W = Wei�wein, R = Rotwein, a= Fassmenge und b = Kelleninhalt ergeben sich:
im Rotweinfass: aR + bW - (aR + bW) b / a+b -->
(aR + bW)a /(a+b)
im Wei�weinfass: aW - bW + (aR + Wb) b /(a+b) -->
(aW + bR)a /(a+b)
Man sieht, dass die Verh�ltnisse gleich sind.
11. L�sung: Die Ronden
Von der Fl�che eines Quadrats mit der Seitenl�nge 10 cm muss die Fl�che eines Kreises mit dem Durchmesser 10 cm abgezogen werden. Die Fl�che des Quadrats: A = a � a (= a�) = 10 cm � 10 cm = 100 cm�. Die Kreisfl�che: A = d � d � π : 4 (= d� � π : 4) (auch: r� � π ) = 10 cm � 10 cm � 3,14 : 4 = 78,5 cm�. Die Differenz = der Verschnitt betr�gt pro Ronde: 100 - 78,5 = 21,5 cm�. Aus 1 Blech mit der Fl�che 1 m� werden 10 � 10 = 100 Ronden gestanzt. Pro Platte ergibt sich ein Verschnitt von 2150 cm�. Die Gesamtfl�che eines Bleches betr�gt 100 cm � 100 cm = 10 000 cm�. 2150 von 10 000 = 2150/10 000 = 2150 : 10 000 = 0,215; mal 100 % = 21,5 %. (Die gleiche Prozentzahl ergibt sich nat�rlich, wenn man den Verschnitt von nur einer Ronde berechnet - denn "Prozent sind Prozent": 21,5 : 100 = 0,215; mal 100 % = 21,5 %.
12. L�sung: Die Kugel
Im Prinzip liegt der gleiche Sachverhalt wie bei Aufgabe 11 vor, nur dass es dort um 2 Dimensionen ging (Fl�che) und hier um 3 Dimensionen (Volumen, Rauminhalt). Die Schachtel hat das Volumen: V = 10 cm � 10 cm � 10 cm = 1000 cm�. Das Volumen einer Kugel (laut Mathe- oder Tabellenbuch oder Lexikon): V = 1/6 � d� � π = 0,1666... � 1 000 cm� � 3,14 = 523,3 cm�. Damit sind 1 000 - 523,3 = 476,7 cm� Luft in der w�rfelf�rmigen Schachtel. Das sind 476,7 : 1 000 � 100 % = 47,7 % (also fast die H�lfte = 50 %)
13. Die Beute
Ede will in ein Mantelgesch�ft einbrechen. Er braucht 3 Kumpels f�r den Coup. Doch Joe will die H�lfte der Beute, Willy 2/3 vom Rest und Harry 3/4 des dann noch verbleibenden Rests. Lohnt sich Harrys Einbruch �berhaupt? Wie viele M�ntel muss er mindestens stehlen, um 1 einzigen f�r sich zu behalten?
14. Die Pumpen
Nach einem starken Unwetter muss ein gro�er Keller ausgepumpt werden. 4 Pumpen mit unterschiedlicher Leistung stehen zur Verf�gung: Alleine m�sste Pumpe A 30 h laufen, Pumpe B 20 h, Pumpe C 15 h und Pumpe D 10 h, um den Keller leer zu pumpen. Doch sie k�nnen alle gleichzeitig eingesetzt werden. Nach wie viel Stunden ist der Keller ausgepumpt?
15. Der Garten
Ein Bauer will mit 1 000 m Zaun einen m�glichst gro�en Garten einz�unen. Er hat geh�rt, dass eine quadratische Fl�che die gr��te einz�unbare (viereckige!) Fl�che erg�be (nur mit Differentialrechnung nachweisbar; ansonsten durch Ausprobieren mit Zahlenwerten einzusehen). Nun hat ihm ein Stammtischbruder gesagt, wenn er einen kreisf�rmigen Garten anlegen w�rde, erg�be sich eine noch gr��ere eingez�unte Fl�che. Stimmt das? Falls ja, wie viel mehr eingez�unte Fl�che w�rde es bringen?
13. L�sung: Die Beute
Man k�nnte eine schwierige Gleichung aufstellen mit x = Beute, um zu berechnen, wie viel dem armen Ede bleibt: (x - 1/2 x) - (x - 1/2 x) � 2/3 - ( (x - 1/2 x) - (x - 1/2 x) � 2/3 ) � 3/4 = ? (das bleibt f�r Ede). Aber es geht einfacher, nach dem Motto: Wie viel bekommt Ede: x � 1/2 � 1/3 � 1/4 = 1/24 x. Von jedem Mantel bleibt Ede 1/24 Mantel. Das hei�t, um 1 Mantel f�r sich zu behalten, muss er 24 M�ntel stehlen, ein schlechter Deal f�r ihn!
14. L�sung: Die Pumpen
Pumpe A: 30 h/V (V = Volumen des Wassers im Keller), Pumpe B: 20 h/V, Pumpe C: 15 h/V, Pumpe D: 10 h/V. Die Pumpleistungen werden durch Kehrwertbildung in V/h ausgedr�ckt, dann k�nnen die F�rdermengen der Pumpen pro Stunde addiert werden --> V/30h + V/20h + V/15h + V/10h = (nach Bildung des gemeinsamen Hauptnenners unter Ber�cksichtigung des kgV = 60h) --> 2V/60h + 3V/60h + 4V/60h + 6V/60h = 15V/60h = (nach K�rzung mit 15) 1V/4h (= 1/4 V/h) --> (nach Kehrwertbildung): 4h/V. D. h. die 4 Pumpen haben den Keller nach 4 Stunden ausgepumpt.
15. L�sung: Der Garten
Der Umfang eines Quadrats ist die vierfache Seitenl�nge a (U = 4 � a; umgestellt, da U bekannt ist: a = U : 4). Die Seitenl�nge a eines quadratischen Gartens w�re mit Zaunl�nge U = 1 000 m also: 250 m. Die Fl�che eines Quadrats ist das Quadrat der Seitenl�nge (A = a � a = a� = 250 m � 250 m = 62 500 m�). Zur Berechnung des Umfang eines Kreises wird der Durchmesser mit der Zahl π (= ca. 3,14) malgenommen (U = d � π; umgestellt, da U bekannt ist: d = U : π). Mit der Zaunl�nge U = 1 000 m --> d = 1 000 m : 3,14 = 318,47 m. Die Fl�che eines Kreises errechnet sich mit der Formel: A = π �d�/ 4 = 3,14 � 318,47 m � 318,47 m : 4 = 79 617 m�. M�glicherweise erwartungsgem�� ist der runde Garten gr��er, und zwar um 17 117 m� oder 17 117/62 500 = 27,4 % !
16. Die Verdoppelung
Es wird behauptet, es g�be eine "Faustformel", mit deren Hilfe man schnell �berschlagen k�nne, in wie viel Jahren sich ein Guthaben bei einem bestimmten Zinssatz verdoppelt hat. Es soll sich um eine Zahl handeln, die durch den Zinssatz geteilt wird und als Ergebnis die Dauer in Jahren ergibt. Wie k�nnte man diese Zahl finden (oder nachweisen, dass es sich vielleicht doch nur um ein Ger�cht handelt)?
17. Der W�rfel
Ein lackierter W�rfel wird in 4 mal 4 mal 4 = 64 kleine W�rfel zers�gt. Wie viele der kleinen W�rfel haben 3, wie viel haben 2, wie viele haben 1 und wie viele haben gar keine lackierten Fl�chen?
18. Die K�rbisse
Mathematiklehrer Eule ist Hobbyg�rtner. Er erz�hlt seinen Stammtischfreunden, dass er 4 K�rbisse mit dem Gesamtgewicht von 12 kg geerntet habe. Der zweite habe 50 % mehr als der erste gewogen, der dritte sogar soviel wie die ersten zwei zusammen und zweieinhalbmal soviel wie der vierte. Wie viel wogen seine 4 K�rbisse jeweils?
L�sung 16: Die Verdoppelung
Bei einem Zinssatz von 5 % tritt eine Verdoppelung nicht erst nach 20 Jahren (5% mal 20 = 100%) ein, sondern vorher, wenn die auf dem Konto belassenen Zinsen mitverzinst werden. Dies nennt man den Zinseszinseffekt. Man k�nnte 2- 3 Beispiele mit verschiedenen Zinss�tzen so lange mit der Zinseszinsformel hochrechnen, bis ca. eine Verdoppelung des Ausgangskapitals eintritt und diese Dauer bei allen Beispielen vergleichen. Da die Zinseszinsformel relativ schwierig ist, wird per Hand gerechnet: Beispiel 1: Nach 1 Jahr betr�gt ein anf�ngliches Guthaben von 1000 � bei einem Zinssatz von 5% jetzt 1000 mal 1,05 (= 100% + 5% = 100/100 + 5/100 = 105/100 = 1,05) = 1050 �, nach dem 2. Jahr: 1050 mal 1,05 = 1102,50 �, usw. (bei manchen Taschenrechnern kann man einfach die mal- Taste solange dr�cken, bis das Ergebnis ca. 2000 betr�gt = Verdoppelung von 1000) --> nach 3 Jahren: 1157,63 �; nach 4 Jahren: 1215,51 �; nach 5 Jahren: 1276,28 �; nach 6 Jahren: 1340,10 �; nach 7 Jahren: 1407,10 �; nach 8 Jahren: 1477,46 �; nach 9 Jahren: 1551,33 �; nach 10 Jahren: 1628,89 �; nach 11 Jahren: 1710,34 �; nach 12 Jahren: 1795,86 �; nach 13 Jahren: 1885,65 �; nach 14 Jahren: 1979,93; nach 15 Jahren: 2078,93 �. Beispiel 2: 1000 � bei 3% (ohne Zinseszinseffekt: 3% mal 33,3 Jahre = 100% !): nach 1 Jahr: 1030 �; ...; nach 23 Jahren: 1973,59 �; nach 24 Jahren: 2032,79 �. Beispiel 3: 1000 � zu 7%: nach 1 Jahr: 1070 �; ...; nach 10 Jahren: 1967,15 �; nach 11 Jahren: 2104,85 �. Zusammenstellung: 1: bei 5% --> ca. 14,2 Jahre (durch "Intrapolieren": Differenz zwischen 14 und 15 Jahren: 2078,93 - 1979,93 = 99 --> 2000 - 1979,93 = 20,07 --> 20,07/99 = 0,2 Jahre --> 14 Jahre + 0,2 Jahre); 2: bei 3% --> ca. 23,45 Jahre (23 Jahre + 26,41/ 59,2 Jahre = 23 Jahre + 0,45 Jahre); 3: bei 7% --> ca. 10,24 Jahre (10 Jahre + 32,85/ 137,70 Jahre --> 10 Jahre + 0,24 Jahre). Pr�fung der Existenz eines allgemein g�ltigen Faktors (da bei kleinem Zinssatz die Laufzeit l�nger ist, k�nnte nur eine Multiplikation zu gleichen oder �hnlichen Faktoren f�hren) 1: 5 mal 14,2 = 71 2: 3 mal 23,45 = 70,35 3: 7 mal 10,24 = 72,8 Es hat den Anschein, als ob man zumindest bei einstelligen Zinss�tzen mit einem Faktor von ca. 71 rechnen k�nnte (der Fehler k�nnte im Bereich des linearen Interpolierens liegen), der durch den Zinssatz zu teilen ist, d. h. bei einem Zinssatz von 6% verdoppelt sich ein Guthaben in (71 : 6) ca. 11,8 Jahren.
L�sung 17: Der W�rfel
Ein W�rfel hat 8 Ecken. Somit gibt es 8 W�rfelchen mit 3 lackierten Fl�chen. Ein W�rfel hat ferner 12 Kanten, die aus W�rfeln mit 2 lackierten Fl�chen bestehen, bei der vorliegenden Zerteilung in 4 Teile pro Seitenl�nge erg�ben sich eigentlich 4 W�rfel pro Kante. Da die Ecken jeweils zu drei Kanten geh�ren und au�erdem 3 lackierte Fl�chen haben, m�ssen sie von den Kantenw�rfelchen in Abzug gebracht werden. Somit sind von jeder Kante nur (die innen liegenden) 2 W�rfelchen zu ber�cksichtigen, d. h. es gibt insgesamt 12 mal 2 = 24 W�rfelchen mit 2 lackierten Fl�chen. Ein W�rfel hat ferner (wie vom W�rfeln bekannt) 6 Seitenfl�chen. Im vorliegenden Beispiel best�nde 1 Seite aus 4 mal 4 = 16 W�rfeln. Doch die bereits ber�cksichtigten Ecken- und Kantenw�rfelchen sind in Abzug zu bringen. Somit bleiben nur (die inneren) 4 mal 6 = 24 W�rfelchen mit 1 lackierten Fl�che. Alle restlichen W�rfelchen (aus dem Innern des W�rfels) sind unlackiert. Per subtraktion ergibt sich die Anzahl von (4 mal 4 mal 4 = 64 W�rfelchen; 64 - 8 - 24 - 24 =) 8 unlackierte W�rfelchen. Allgemeine Formel (n = Anzahl der W�rfelchen pro Seitenl�nge, im Beispiel: n = 4): 3 lackierte Fl�chen: immer 8 (Ecken-) W�rfelchen; 2 lackierte Fl�chen: 12 Kanten mal (n-2 Ecken) (Kanten-) W�rfelchen; 1 lackierte Fl�che: 6 Fl�chen mal (n-2 Ecken) mal (n-2 Ecken) = 6 mal (n-2)� (Seiten-) W�rfelchen; keine lackierte Fl�che: (n-2) mal (n-2) mal (n-2) = (n-2)� (innere) W�rfelchen.
L�sung 18: Die K�rbisse
Mathematiklehrer Eule macht es seinen Freunden relativ einfach: Die Aufgabe l�sst sich "im Kopf" durch Ausprobieren l�sen, zumal wenn man der Meinung ist, Herr Eule habe sicherlich nur in ganzen Kilogramm gerechnet: Wenn K1 = 2 kg; dann ist K2 = 2 mal 1,5 = 3 kg; dann ist K3 = K1 + K2 = 2 + 3 = 5 kg; dann ist K4 = 5 : 2,5 = 2 kg. Kontrolle: 2 + 3 + 5 + 2 = 12 kg. Per Formel (mit K1 = x): K2 = 1,5 x; K3 = x + 1,5 x; K4 = (x + 1,5 x) : 2,5 --> x + 1,5 x + (x + 1,5 x) + (x + 1,5 x) : 2,5 = x + 1,5 x + (2,5 x) + (2,5 x : 2,5) = 6 x = 12 kg --> x (= K1) = 12 kg : 6 = 2 kg.
19. Die Kugeln
Unter 9 gleich gro�en Kugeln befindet sich 1 leichtere Kugel. Alle anderen sind gleich schwer. Durch nur 2-maliges Wiegen ist die leichtere Kugel herauszufinden.
20. Die Leitungen
Drei nebeneinander stehende neu gebaute H�user sollen mit jeweils 3 Leitungen f�r Gas, Elektrizit�t und Wasser versorgt werden. Die Leitungen vom Gaswerk, Elektrizit�tswerk und Wasserwerk sollen sich aber nicht �berschneiden! Zeichne einen Verlegungsplan.
PS: Hier kann man sogar probieren: http://www.chilloutzone.de/files/07051804.html
21. Der Preisabschlag
Ein Malermeister gew�hrt auf eine Reklamation des Kunden hin einen Nachlass von 10 % auf die Rechnungssumme. Er betont, dass der Abzug vor dem Zuschlag der Mehrwertsteuer erfolgen soll. Aber - ist das nicht egal? Sind 10 % nicht 10 %??
L�sung 19: Die Kugeln
Man legt je drei Kugeln auf die 2 Waagschalen einer Balkenwaage (Rest = 3).
1.Wiegen: Ist die Waage im Gleichgewicht --> gesuchte = leichtere Kugel ist im Rest! 2.Wiegen: Man legt je eine Kugel aus dem Rest auf die 2 Waagschalen (Rest = 1). Ist sie im Gleichgewicht --> die restliche Kugel ist die gesuchte! Ist sie nicht im Gleichgewicht --> die Kugel in der h�heren Waagschale ist die gesuchte!
War die Waage beim 1. Wiegen nicht im Gleichgewicht --> die gesuchte Kugel ist unter den 3 Kugeln in der h�heren Waagschale. 2.Wiegen: Von diesen drei Kugeln wird je eine in die 2 Waagschalen gelegt (Rest = 1). Ist die Waage im Gleichgewicht, ist die restliche Kugel die gesuchte! Andernfalls ist die Kugel in der h�heren Waagschale die gesuchte! (Man k�nnte den Versuch anschaulich mit verbrauchten Tennisb�llen durchf�hren, wobei man einen durch eine Injektion mit Klebstoff o. �. schwerer macht - und entsprechend den schwereren sucht.)
L�sung 20: Die Leitungen
Noch am Probieren? Meines Wissens hat noch keiner eine L�sung ohne mindestens 1 �berschneidung gefunden. Vielleicht l�sst sich das sogar mathematisch beweisen. Sorry!
L�sung 21: Der Preisabschlag
Es ist egal, ob der Preisabschlag vor oder nach dem Zuschlag der Mehrwertsteuer erfolgt. Denn ein Abschlag von z.B. 10% einer Summe l�sst sich darstellen als Summe mal 0,9 (S � 0,9). Der Zuschlag der MWSt l�sst sich darstellen als Summe mal
1,16 (S � 1,16). Nach dem Vertauschungsgesetz gilt: S � 0,9 � 1,16 = S � 1,16 � 0,9.
22. Die Hin- und R�ckfahrt
Ein Gesch�ftsmann f�hrt von Frankfurt nach Hannover. Er hatte mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 110 km/h gerechnet. Aufgrund von Staus schafft er nur einen "Schnitt" von 100 km/h auf dem Hinweg. Er beschlie�t, auf dem R�ckweg einen "Schnitt" von 120 km/h zu erreichen, um den Zeitverlust auf der Hinreise auszugleichen. Ist diese Rechnung richtig??
23. Die 3 T�chter
Ein Vertreter klingelt an einer Haust�r und will ein Zeitschriftenabonnement verkaufen. Eine Frau �ffnet und sagt: "Ich abonniere eine Ihrer Zeitschriften, wenn Sie herausbekommen, wie alt meine 3 T�chter sind."
Der Vertreter willigt ein und bekommt folgende Tipps von der Mutter:
- Das Produkt des jeweiligen Alters meiner 3 T�chter ist 36.
- Die Summe des jeweiligen Alters meiner 3 T�chter ist unsere Hausnummer.
Daraufhin schaut der Vertreter nach der Hausnummer, kommt zur�ck und sagt: "Das reicht noch nicht!".
Daraufhin meint die Mutter: "Stimmt, meine �lteste Tochter hei�t Rosi."
Frage: Wie alt sind die 3 T�chter ?
